PROGRAM NON LINIER 

 

Contoh 1   Limit 

 

1. Tunjukkan bahwa



2. Tunjukkan bahwa

Definisi dari Ring

 RING, INTEGRAL DOMAIN, DAN FIELD  

 

A. DEFINISI RING

      Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang mempunyai dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian.

Definisi 1  Definisi Ring

---

      Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

1. R tertutup dibawah penjumlahan. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x + y ∈ R.
2. Penjumlahan pada R adalah asosiatif, yaitu x + ( y + z ) = ( x + y ) + z untuk semua x, y, z di R .
3. R berisi identitas penjumlahan 0. Artinya, x + 0 = 0 + x = x , dengan x ∈ R .
4. R berisi invers penjumlahan. Artinya, untuk x ∈ R , ada - x ∈ R sehingga x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0.
5. Penjumlahan pada R adalah komutatif , yaitu x + y = y + x untuk semua x, y di R .
6. R tertutup dibawah perkalian. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x ∙ y ∈ R .
7. Perkalian pada R adalah asosiatif. Artinya, x ∙ ( y ∙ z ) = ( x ∙ y ) ∙ z untuk semua x, y, z di R .
8. Dua hukum distributif berlaku pada R, yaitu :
• x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
• ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .

Note : Bedakan R ( bilangan real ) dengan R ( ring ).

---

      Identitas penjumlahan pada ring adalah 0, seperti yang sudah dijelaskan pada kondisi 3 Definisi 1. Invers penjumlahan ( - a ) disebut negatif dari a atau lawan dari a. Note : Bedakan IDENTITAS PENJUMLAHAN dengan INVERS PENJUMLAHAN. Pengurangan pada ring didefinisikan oleh

x - y = x + ( - y )

      Definisi 1 dapat disingkat kedalam bentuk yang lebih mudah diingat yaitu sebagai berikut.

Definisi 2  Definisi Alternatif dari Ring

---

      Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

1. R membentuk grup abelian ( grup komutatif ) terhadap penjumlahan.
2. R tertutup tehadap perkalian asosiatif.
3. Dua hukum distributif berlaku pada R , yaitu :
• x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
• ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .

---

Contoh 1

Berikut adalah beberapa contoh ring :

1. Himpunan Z ( himpunan semua bilangan bulat ).
2. Himpunan Q ( himpunan semua bilangan rasional ).
3. Himpunan R ( himpunan semua bilangan real ).
4. Himpunan C ( himpunan semua bilangan kompleks ).

• 
  

Contoh 2

Periksalah apakah himpunan E (himpunan semua bilangan bulat genap) adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian pada Z .

Solusi :

Kita lihat apakah E memenuhi semua kondisi pada Definisi 1. Perhatikan bahwa bentuk dari bilangan genap adalah 2k. Kondisi 2, 5, 7 dan 8 dari Definisi 1 secara otomatis terpenuhi karena mereka berlaku pada ring Z, yang berisi ring E

1. Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa
   
   x + y = 2m + 2n
   1x + y   = 2 ( m + n )
   1234567890x + y = 2k, dengan k = m + n
   
   Jadi, x + y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah penjumlahan.


2. Penjumlahan pada E adalah asosiatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


3. E berisi identitas penjumlahan. Karena 2k + 0 = 0 + 2k = 2k.


4. Untuk sebarang x = 2k pada E, invers penjumlahan pada x ada di E, karena
   
   
   - x = 2 ( - k )


5. Penjumlahan pada E adalah komutatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


6. Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa
   
   x ∙ y = 2m ∙ 2n
   ∙ y = 4 m n
   1 2x ∙ y = 2 ( 2 m n )
   12345678901x ∙ y = 2k, dengan k = 2 m n
   
   Jadi, x ∙ y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah perkalian.


7. Perkalian pada E adalah asosiatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


8. Dua hukum distributif pada Definisi 1 berlaku di E.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

• 
  

Definisi 3  Subring

---

   Kapanpun ring R₁ adalah sub-himpunan dari ring R₂ dan mempunyai penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan pada R₂, kita katakan bahwa R₁ adalah subring dari R₂.

---

    Ring Z adalah subring dari bilangan rasional ( Q ), bilangan rasional ( Q ) membentuk subring dari bilangan real ( R ), dan bilangan real ( R ) membentuk subring dari bilangan kompleks ( C ).

    Kondisi yang harus diverifikasi pada Definisi 1 adalah kondisi 1, 3, 4, dan 6.

    Sifat - sifat dari subring adalah sebagai berikut.

Teorema 1 

---

    Sebuah sub-himpunan S dari ring R adalah subring jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

1. S adalah himpunan tak kosong.
2. x ∈ S dan y ∈ S sehingga x + y dan x ∙ y ada di S .
3. x ∈ S sehingga - x ∈ S .

---

    Sifat-sifat dari subring yang lebih sederhana dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 2 

---

    Sub-himpunan S dari ring R adalah subring dari R jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

1. S adalah himpunan tak kosong.
2. x ∈ S dan y ∈ S sehingga x - y dan xy ada di S .

---

Contoh 3

Contoh subring berikut diverifikasi berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2.

1. Himpunan semua bilangan real dari bentuk m + n √2 dengan m ∈ Z dan n ∈ Z , adalah subring dari ring semua bilangan real.
2. Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b √2 dengan a dan b adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.
3. Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b ∛2 + c ∛4 dengan a, b, dan c adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.

1. 
   

    Ring finite (berhingga) adalah ring dengan banyak elemennya berhingga.

Contoh 4

    Untuk n > 1, Z_n menyatakan bilangan bulat modulo n.

Z_n = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], ... , [ n - 1 ] } 

Kita telah mengetahui bahwa

[ a ] + [ b ] = [ a + b ] dan [ a ] ∙ [ b ] = [ ab ]

mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada Z_n. Z_n membentuk grup abelian dibawah penjumlahan, dengan [ 0 ] sebagai identitas penjumlahan dan [ - a ] sebagai invers penjumlahan dari [ a ]. Z_n tertutup terhadap perkalian, dimana perkalian tersebut asosiatif. Untuk sebarang [ a ], [ b ], dan [ c ] di Z_n :

[ a ] ∙ ( [ b ] + [ c ] ) = [ a ] ∙ [ b + c ]

                              = [ a ( b + c ) ]

                           = [ ab + ac ]

                                = [ ab ] + [ ac ]

                                               = [ a ] ∙ [ b ] + [ a ] ∙ [ c ]

    Jadi, hukum distributif kiri berlaku di Z_n. Sedangkan hukum distributif kanan dapat diverifikasi dengan cara yang sama, dan Z_n adalah ring terhadap operasi ini.

1. 
   

Contoh 5

    Misalkan U adalah himpunan tak kosong, dan misalkan P ( U ) menyatakan koleksi dari semua sub-himpunan dari U.
    Untuk sebarang A dan B dari U,  A + B didefinisikan sebagai berikut

A + B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

    P ( U ) tertutup terhadap penjumlahan, dan operasi ini adalah asosiatif. Penjumlahan ini komutatif, karena A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A . Himpunan kosong ∅ adalah identitas penjumlahan karena

∅ + A = A + ∅

                                   = ( A ∪ ∅ ) - ( A ∩ ∅ )

          = A - ∅

   = A

    Setiap sub-himpunan A dari U adalah invers penjumlahannya sendiri

                  A + A = ( A ∪ A ) - ( A ∩ A )

     = A - A

= ∅

Kita mendefinisikan perkalian pada P ( U ) oleh :

A ∙ B =  A ∩ B 

dan  P ( U ) tertutup terhadap perkalian ini. Juga, perkalian ini adalah asosiatif karena

A ∙ ( B ∙ C ) = A ∩ ( B ∩ C )

                      = (  A ∩  B ) ∩ C 

                = ( A ∙ B ) ∙ C 

Hukum distribusi kiri adalah

 A ∩ ( B + C ) = (  A ∩  B ) + (  A ∩  C )

Jadi,  P ( U ) adalah ring terhadap operasi + dan ∙

1. 
   

Definisi 4  Ring dengan Unitas, Ring Komutatif

---

    Misalkan R adalah ring. Jika ada sebuah elemen e pada R sehingga x ∙ e = e ∙ x = x untuk semua x di R , maka e disebut unitas. Jika perkalian pada R komutatif, maka R disebut ring komutatif.

    Sebuah ring dapat mempunyai salah satu dari sifat pada Definisi 4 tanpa sifat yang lain, atau tidak mempunyai semua sifat pada Definisi 4, atau mempunyai kedua sifat tersebut. Kemungkinan - kemungkinan tersebut diilustrasikan pada contoh - contoh berikut.

---

Contoh 6

    Ring Z dari semua bilangan bulat mempunyai kedua sifat pada Definisi 4. Jadi Z adalah ring komutatif dengan sebuah unitas. Sebagai contoh lainnya dari tipe ini ( mempunyai kedua sifat pada Definisi 4 ) adalah Z_n dan P ( U ). Z_n adalah ring komutatif dengan unitas [ 1 ], dan P ( U ) adalah ring komutatif dengan subset U sebagai unitas.

1. 
   

Contoh 7

    Ring E dari semua bilangan bulat genap adalah ring komutatif, tetapi E tidak mempunyai unitas.

1. 
   

Contoh 8

    Jika n ≥ 2, maka setiap himpunan pada daftar berikut

M_n ( Z ) ⊆ M_n ( Q ) ⊆ M_n ( R ) ⊆ M_n ( C )

adalah ring non komutatif dengan unitas I_n

1. 
   

Contoh 9

Himpunan 

 

dari semua matriks E ( bilangan bulat genap ) 2 x 2 adalah ring non - komutatif yang tidak mempunyai unitas.