Definisi dari Ring

RING, INTEGRAL DOMAIN, DAN FIELD

A. DEFINISI RING

Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang mempunyai dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian.

Definisi 1 Definisi Ring

Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

R tertutup dibawah penjumlahan. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x + y ∈ R.
Penjumlahan pada R adalah asosiatif, yaitu x + ( y + z ) = ( x + y ) + z untuk semua x, y, z di R .
R berisi identitas penjumlahan 0. Artinya, x + 0 = 0 + x = x , dengan x ∈ R .
R berisi invers penjumlahan. Artinya, untuk x ∈ R , ada - x ∈ R sehingga x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0.
Penjumlahan pada R adalah komutatif , yaitu x + y = y + x untuk semua x, y di R .
R tertutup dibawah perkalian. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x ∙ y ∈ R .
Perkalian pada R adalah asosiatif. Artinya, x ∙ ( y ∙ z ) = ( x ∙ y ) ∙ z untuk semua x, y, z di R .
Dua hukum distributif berlaku pada R, yaitu :

x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z

Note : Bedakan R ( bilangan real ) dengan R ( ring ).

Identitas penjumlahan pada ring adalah 0, seperti yang sudah dijelaskan pada kondisi 3 Definisi 1. Invers penjumlahan ( - a ) disebut negatif dari a atau lawan dari a. Note : Bedakan IDENTITAS PENJUMLAHAN dengan INVERS PENJUMLAHAN. Pengurangan pada ring didefinisikan oleh

x - y = x + ( - y )

Definisi 1 dapat disingkat kedalam bentuk yang lebih mudah diingat yaitu sebagai berikut.

Definisi 2 Definisi Alternatif dari Ring

Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

R membentuk grup abelian ( grup komutatif ) terhadap penjumlahan.
R tertutup tehadap perkalian asosiatif.
Dua hukum distributif berlaku pada R , yaitu :

x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z

Contoh 1

Berikut adalah beberapa contoh ring :

Himpunan Z ( himpunan semua bilangan bulat ).
Himpunan Q ( himpunan semua bilangan rasional ).
Himpunan R ( himpunan semua bilangan real ).
Himpunan C ( himpunan semua bilangan kompleks ).

Contoh 2

Periksalah apakah himpunan E (himpunan semua bilangan bulat genap) adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian pada Z .

Solusi :

Kita lihat apakah E memenuhi semua kondisi pada Definisi 1. Perhatikan bahwa bentuk dari bilangan genap adalah 2k. Kondisi 2, 5, 7 dan 8 dari Definisi 1 secara otomatis terpenuhi karena mereka berlaku pada ring Z, yang berisi ring E

Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa

x + y = 2m + 2n

1x + y = 2 ( m + n )

1234567890x + y = 2k, dengan k = m + n

Jadi, x + y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah penjumlahan.

Penjumlahan pada E adalah asosiatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

E berisi identitas penjumlahan. Karena 2k + 0 = 0 + 2k = 2k.

Untuk sebarang x = 2k pada E, invers penjumlahan pada x ada di E, karena

- x = 2 ( - k )

Penjumlahan pada E adalah komutatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa

x ∙ y = 2m ∙ 2n

∙ y = 4 m n

1 2x ∙ y = 2 ( 2 m n )

12345678901x ∙ y = 2k, dengan k = 2 m n

Jadi, x ∙ y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah perkalian.

Perkalian pada E adalah asosiatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

Dua hukum distributif pada Definisi 1 berlaku di E.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

Definisi 3 Subring

Kapanpun ring R₁ adalah sub-himpunan dari ring R₂ dan mempunyai penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan pada R₂, kita katakan bahwa R₁ adalah subring dari R₂.

    Ring Z adalah subring dari bilangan rasional ( Q ), bilangan rasional ( Q ) membentuk subring dari bilangan real ( R ), dan bilangan real ( R ) membentuk subring dari bilangan kompleks ( C ).

    Kondisi yang harus diverifikasi pada Definisi 1 adalah kondisi 1, 3, 4, dan 6.

    Sifat - sifat dari subring adalah sebagai berikut.

Teorema 1

Sebuah sub-himpunan S dari ring R adalah subring jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

S adalah himpunan tak kosong.
x ∈ S dan y ∈ S sehingga x + y dan x ∙ y ada di S .
x ∈ S sehingga - x ∈ S .

Sifat-sifat dari subring yang lebih sederhana dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 2

Sub-himpunan S dari ring R adalah subring dari R jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

S adalah himpunan tak kosong.
x ∈ S dan y ∈ S sehingga x - y dan xy ada di S .

Contoh 3

Contoh subring berikut diverifikasi berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2.

Himpunan semua bilangan real dari bentuk m + n √2 dengan m ∈ Z dan n ∈ Z , adalah subring dari ring semua bilangan real.
Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b √2 dengan a dan b adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.
Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b ∛2 + c ∛4 dengan a, b, dan c adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.

Ring finite (berhingga) adalah ring dengan banyak elemennya berhingga.

Contoh 4

Untuk n > 1, Z_n menyatakan bilangan bulat modulo n.

Z_n = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], ... , [ n - 1 ] }

Kita telah mengetahui bahwa

[ a ] + [ b ] = [ a + b ] dan [ a ] ∙ [ b ] = [ ab ]

mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada Z_n. Z_n membentuk grup abelian dibawah penjumlahan, dengan [ 0 ] sebagai identitas penjumlahan dan [ - a ] sebagai invers penjumlahan dari [ a ]. Z_n tertutup terhadap perkalian, dimana perkalian tersebut asosiatif. Untuk sebarang [ a ], [ b ], dan [ c ] di Z_n :

[ a ] ∙ ( [ b ] + [ c ] ) = [ a ] ∙ [ b + c ]

= [ a ( b + c ) ]

= [ ab + ac ]

= [ ab ] + [ ac ]

= [ a ] ∙ [ b ] + [ a ] ∙ [ c ]

Jadi, hukum distributif kiri berlaku di Z_n. Sedangkan hukum distributif kanan dapat diverifikasi dengan cara yang sama, dan Z_n adalah ring terhadap operasi ini.

Contoh 5

Misalkan U adalah himpunan tak kosong, dan misalkan P ( U ) menyatakan koleksi dari semua sub-himpunan dari U.
Untuk sebarang A dan B dari U, A + B didefinisikan sebagai berikut

A + B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

P ( U ) tertutup terhadap penjumlahan, dan operasi ini adalah asosiatif. Penjumlahan ini komutatif, karena A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A . Himpunan kosong ∅ adalah identitas penjumlahan karena

∅ + A = A + ∅

= ( A ∪ ∅ ) - ( A ∩ ∅ )

= A - ∅

= A

Setiap sub-himpunan A dari U adalah invers penjumlahannya sendiri

A + A = ( A ∪ A ) - ( A ∩ A )

= A - A

= ∅

Kita mendefinisikan perkalian pada P ( U ) oleh :

A ∙ B = A ∩ B

dan P ( U ) tertutup terhadap perkalian ini. Juga, perkalian ini adalah asosiatif karena

A ∙ ( B ∙ C ) = A ∩ ( B ∩ C )

= ( A ∩ B ) ∩ C

= ( A ∙ B ) ∙ C

Hukum distribusi kiri adalah

A ∩ ( B + C ) = ( A ∩ B ) + ( A ∩ C )

Jadi, P ( U ) adalah ring terhadap operasi + dan ∙

Definisi 4 Ring dengan Unitas, Ring Komutatif

Misalkan R adalah ring. Jika ada sebuah elemen e pada R sehingga x ∙ e = e ∙ x = x untuk semua x di R , maka e disebut unitas. Jika perkalian pada R komutatif, maka R disebut ring komutatif.

Sebuah ring dapat mempunyai salah satu dari sifat pada Definisi 4 tanpa sifat yang lain, atau tidak mempunyai semua sifat pada Definisi 4, atau mempunyai kedua sifat tersebut. Kemungkinan - kemungkinan tersebut diilustrasikan pada contoh - contoh berikut.

Contoh 6

Ring Z dari semua bilangan bulat mempunyai kedua sifat pada Definisi 4. Jadi Z adalah ring komutatif dengan sebuah unitas. Sebagai contoh lainnya dari tipe ini ( mempunyai kedua sifat pada Definisi 4 ) adalah Z_n dan P ( U ). Z_n adalah ring komutatif dengan unitas [ 1 ], dan P ( U ) adalah ring komutatif dengan subset U sebagai unitas.

Contoh 7

Ring E dari semua bilangan bulat genap adalah ring komutatif, tetapi E tidak mempunyai unitas.

Contoh 8

Jika n ≥ 2, maka setiap himpunan pada daftar berikut

M_n ( Z ) ⊆ M_n ( Q ) ⊆ M_n ( R ) ⊆ M_n ( C )

adalah ring non komutatif dengan unitas I_n

Contoh 9

Himpunan

dari semua matriks E ( bilangan bulat genap ) 2 x 2 adalah ring non - komutatif yang tidak mempunyai unitas.

Ringkasan Matematika

Senin, 30 Mei 2016