Definisi dari Ring

 RING, INTEGRAL DOMAIN, DAN FIELD  

 

A. DEFINISI RING

      Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang mempunyai dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian.

Definisi 1  Definisi Ring

---

      Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

1. R tertutup dibawah penjumlahan. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x + y ∈ R.
2. Penjumlahan pada R adalah asosiatif, yaitu x + ( y + z ) = ( x + y ) + z untuk semua x, y, z di R .
3. R berisi identitas penjumlahan 0. Artinya, x + 0 = 0 + x = x , dengan x ∈ R .
4. R berisi invers penjumlahan. Artinya, untuk x ∈ R , ada - x ∈ R sehingga x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0.
5. Penjumlahan pada R adalah komutatif , yaitu x + y = y + x untuk semua x, y di R .
6. R tertutup dibawah perkalian. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x ∙ y ∈ R .
7. Perkalian pada R adalah asosiatif. Artinya, x ∙ ( y ∙ z ) = ( x ∙ y ) ∙ z untuk semua x, y, z di R .
8. Dua hukum distributif berlaku pada R, yaitu :
• x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
• ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .

Note : Bedakan R ( bilangan real ) dengan R ( ring ).

---

      Identitas penjumlahan pada ring adalah 0, seperti yang sudah dijelaskan pada kondisi 3 Definisi 1. Invers penjumlahan ( - a ) disebut negatif dari a atau lawan dari a. Note : Bedakan IDENTITAS PENJUMLAHAN dengan INVERS PENJUMLAHAN. Pengurangan pada ring didefinisikan oleh

x - y = x + ( - y )

      Definisi 1 dapat disingkat kedalam bentuk yang lebih mudah diingat yaitu sebagai berikut.

Definisi 2  Definisi Alternatif dari Ring

---

      Misalkan R adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ). Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :

1. R membentuk grup abelian ( grup komutatif ) terhadap penjumlahan.
2. R tertutup tehadap perkalian asosiatif.
3. Dua hukum distributif berlaku pada R , yaitu :
• x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
• ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .

---

Contoh 1

Berikut adalah beberapa contoh ring :

1. Himpunan Z ( himpunan semua bilangan bulat ).
2. Himpunan Q ( himpunan semua bilangan rasional ).
3. Himpunan R ( himpunan semua bilangan real ).
4. Himpunan C ( himpunan semua bilangan kompleks ).

• 
  

Contoh 2

Periksalah apakah himpunan E (himpunan semua bilangan bulat genap) adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian pada Z .

Solusi :

Kita lihat apakah E memenuhi semua kondisi pada Definisi 1. Perhatikan bahwa bentuk dari bilangan genap adalah 2k. Kondisi 2, 5, 7 dan 8 dari Definisi 1 secara otomatis terpenuhi karena mereka berlaku pada ring Z, yang berisi ring E

1. Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa
   
   x + y = 2m + 2n
   1x + y   = 2 ( m + n )
   1234567890x + y = 2k, dengan k = m + n
   
   Jadi, x + y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah penjumlahan.


2. Penjumlahan pada E adalah asosiatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


3. E berisi identitas penjumlahan. Karena 2k + 0 = 0 + 2k = 2k.


4. Untuk sebarang x = 2k pada E, invers penjumlahan pada x ada di E, karena
   
   
   - x = 2 ( - k )


5. Penjumlahan pada E adalah komutatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


6. Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa
   
   x ∙ y = 2m ∙ 2n
   ∙ y = 4 m n
   1 2x ∙ y = 2 ( 2 m n )
   12345678901x ∙ y = 2k, dengan k = 2 m n
   
   Jadi, x ∙ y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah perkalian.


7. Perkalian pada E adalah asosiatif.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.


8. Dua hukum distributif pada Definisi 1 berlaku di E.
   
   Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

• 
  

Definisi 3  Subring

---

   Kapanpun ring R₁ adalah sub-himpunan dari ring R₂ dan mempunyai penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan pada R₂, kita katakan bahwa R₁ adalah subring dari R₂.

---

    Ring Z adalah subring dari bilangan rasional ( Q ), bilangan rasional ( Q ) membentuk subring dari bilangan real ( R ), dan bilangan real ( R ) membentuk subring dari bilangan kompleks ( C ).

    Kondisi yang harus diverifikasi pada Definisi 1 adalah kondisi 1, 3, 4, dan 6.

    Sifat - sifat dari subring adalah sebagai berikut.

Teorema 1 

---

    Sebuah sub-himpunan S dari ring R adalah subring jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

1. S adalah himpunan tak kosong.
2. x ∈ S dan y ∈ S sehingga x + y dan x ∙ y ada di S .
3. x ∈ S sehingga - x ∈ S .

---

    Sifat-sifat dari subring yang lebih sederhana dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 2 

---

    Sub-himpunan S dari ring R adalah subring dari R jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi :

1. S adalah himpunan tak kosong.
2. x ∈ S dan y ∈ S sehingga x - y dan xy ada di S .

---

Contoh 3

Contoh subring berikut diverifikasi berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2.

1. Himpunan semua bilangan real dari bentuk m + n √2 dengan m ∈ Z dan n ∈ Z , adalah subring dari ring semua bilangan real.
2. Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b √2 dengan a dan b adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.
3. Himpunan semua bilangan real dari bentuk a + b ∛2 + c ∛4 dengan a, b, dan c adalah bilangan rasional, adalah subring dari bilangan real.

1. 
   

    Ring finite (berhingga) adalah ring dengan banyak elemennya berhingga.

Contoh 4

    Untuk n > 1, Z_n menyatakan bilangan bulat modulo n.

Z_n = { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], ... , [ n - 1 ] } 

Kita telah mengetahui bahwa

[ a ] + [ b ] = [ a + b ] dan [ a ] ∙ [ b ] = [ ab ]

mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada Z_n. Z_n membentuk grup abelian dibawah penjumlahan, dengan [ 0 ] sebagai identitas penjumlahan dan [ - a ] sebagai invers penjumlahan dari [ a ]. Z_n tertutup terhadap perkalian, dimana perkalian tersebut asosiatif. Untuk sebarang [ a ], [ b ], dan [ c ] di Z_n :

[ a ] ∙ ( [ b ] + [ c ] ) = [ a ] ∙ [ b + c ]

                              = [ a ( b + c ) ]

                           = [ ab + ac ]

                                = [ ab ] + [ ac ]

                                               = [ a ] ∙ [ b ] + [ a ] ∙ [ c ]

    Jadi, hukum distributif kiri berlaku di Z_n. Sedangkan hukum distributif kanan dapat diverifikasi dengan cara yang sama, dan Z_n adalah ring terhadap operasi ini.

1. 
   

Contoh 5

    Misalkan U adalah himpunan tak kosong, dan misalkan P ( U ) menyatakan koleksi dari semua sub-himpunan dari U.
    Untuk sebarang A dan B dari U,  A + B didefinisikan sebagai berikut

A + B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

    P ( U ) tertutup terhadap penjumlahan, dan operasi ini adalah asosiatif. Penjumlahan ini komutatif, karena A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A . Himpunan kosong ∅ adalah identitas penjumlahan karena

∅ + A = A + ∅

                                   = ( A ∪ ∅ ) - ( A ∩ ∅ )

          = A - ∅

   = A

    Setiap sub-himpunan A dari U adalah invers penjumlahannya sendiri

                  A + A = ( A ∪ A ) - ( A ∩ A )

     = A - A

= ∅

Kita mendefinisikan perkalian pada P ( U ) oleh :

A ∙ B =  A ∩ B 

dan  P ( U ) tertutup terhadap perkalian ini. Juga, perkalian ini adalah asosiatif karena

A ∙ ( B ∙ C ) = A ∩ ( B ∩ C )

                      = (  A ∩  B ) ∩ C 

                = ( A ∙ B ) ∙ C 

Hukum distribusi kiri adalah

 A ∩ ( B + C ) = (  A ∩  B ) + (  A ∩  C )

Jadi,  P ( U ) adalah ring terhadap operasi + dan ∙

1. 
   

Definisi 4  Ring dengan Unitas, Ring Komutatif

---

    Misalkan R adalah ring. Jika ada sebuah elemen e pada R sehingga x ∙ e = e ∙ x = x untuk semua x di R , maka e disebut unitas. Jika perkalian pada R komutatif, maka R disebut ring komutatif.

    Sebuah ring dapat mempunyai salah satu dari sifat pada Definisi 4 tanpa sifat yang lain, atau tidak mempunyai semua sifat pada Definisi 4, atau mempunyai kedua sifat tersebut. Kemungkinan - kemungkinan tersebut diilustrasikan pada contoh - contoh berikut.

---

Contoh 6

    Ring Z dari semua bilangan bulat mempunyai kedua sifat pada Definisi 4. Jadi Z adalah ring komutatif dengan sebuah unitas. Sebagai contoh lainnya dari tipe ini ( mempunyai kedua sifat pada Definisi 4 ) adalah Z_n dan P ( U ). Z_n adalah ring komutatif dengan unitas [ 1 ], dan P ( U ) adalah ring komutatif dengan subset U sebagai unitas.

1. 
   

Contoh 7

    Ring E dari semua bilangan bulat genap adalah ring komutatif, tetapi E tidak mempunyai unitas.

1. 
   

Contoh 8

    Jika n ≥ 2, maka setiap himpunan pada daftar berikut

M_n ( Z ) ⊆ M_n ( Q ) ⊆ M_n ( R ) ⊆ M_n ( C )

adalah ring non komutatif dengan unitas I_n

1. 
   

Contoh 9

Himpunan 

 

dari semua matriks E ( bilangan bulat genap ) 2 x 2 adalah ring non - komutatif yang tidak mempunyai unitas.